问题描述

给定一个多边形区域，怎样判断某个点是否在该区域内？
如下图所示的蓝色多边形框，判断某点是否在该框内。

定义域

先写出该蓝色框的坐标序列：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

poly = np.array([(0,0),(1,0),(0.7,0.7),(1,1),(0,1),(0.5,0.5),(0,0)])

注意，该坐标序列是首尾相接的。
然后，定义出任意数量、任意位置的随机点：

1	pts = np.random.rand(80).reshape((40,2))

这里给出了40个随机点。

解法

为了简单起见，以随机点[0.3, 0.4]为例：

1	o = np.array([(0.3, 0.4)])

计算点与区域边界点形成的向量

1	vs = poly - o

可以看作是以随机点为中心，区域边界点指向该中心的向量。
此例中，vs的值就是：

[[-0.3 -0.4]
 [ 0.7 -0.4]
 [ 0.4  0.3]
 [ 0.7  0.6]
 [-0.3  0.6]
 [ 0.2  0.1]
 [-0.3 -0.4]]

计算点与区域边界点的距离

然后计算该向量的绝对长度：

1	ls = np.linalg.norm(vs, axis=1)

ls的值为：

1	[0.5 0.80622577 0.5 0.92195445 0.67082039 0.2236068 0.5]

计算相邻向量的外积

1	cs = np.cross(vs[:-1], vs[1:])

这一步是计算以随机点为中心所形成的向量中，两个相邻向量所形成的外积。
可以详细看看numpy的cross函数的两个输入：

[[-0.3 -0.4]
 [ 0.7 -0.4]
 [ 0.4  0.3]
 [ 0.7  0.6]
 [-0.3  0.6]
 [ 0.2  0.1]]

和

[[ 0.7 -0.4]
 [ 0.4  0.3]
 [ 0.7  0.6]
 [-0.3  0.6]
 [ 0.2  0.1]
 [-0.3 -0.4]]

即第一个输入是排除了vs的最后一个向量，而第二个输入是排除了vs的第一个向量，这样两者一交错，就是在cross时计算的就是两个相邻向量的外积。
外积的概念可以参见维基百科

而numpy的具体cross函数的计算方式见这里。
因为这里输入的两个向量都是二维的，因此计算出来的虽然应该仍然是个向量，但这里只返回它的z轴长度（In cases where both input vectors have dimension 2, the z-component of the cross product is returned）。
因此，cs的值为：

1	[ 0.4 0.37 0.03 0.6 -0.15 -0.05]

这里比较重要的是数值的符号。

计算相邻向量的内积

1	dot = (vs[:-1]*vs[1:]).sum(axis=1)

这一步是计算以随机点为中心所形成的向量中，两个相邻向量所形成的内积。
内积的概念可以参见维基百科。

里面重要的一点：从代数角度看，先对两个数字序列中的每组对应元素求积，再对所有积求和，结果即为点积。从几何角度看，点积则是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。这两种定义在笛卡尔坐标系中等价。

计算相邻向量的长度乘积

1	ls = ls[:-1] * ls[1:]

这句简单，就是相邻两个向量的长度的乘积。

计算相邻向量的角度

1	ang = np.arccos(dot/ls) * np.sign(cs)

该行有两部分组成：
（1）前一部分就是两个向量的点积除以这两个向量的长度乘积。由点积的定义可知，这样的除法得到了角度的余弦值。这样求反余弦后，就可以得到两个向量之间的角度。
（2）第二部分就是对上面的角度赋予符号，这个符号的正负是通过相邻向量的外积来得到的。

计算角度之和

1	ang.sum() > np.pi

对上述角度求和，然后判断其大小。
这里就是整个算法的点睛之笔，假设一个人站在了这个随机点上，然后他在原地转圈：
（1）如果随机点在区域内部，那么这个人转一圈，其转过的角度就是2*pi；
（2）如果随机点在区域外部，那么这个人没法转一个完整的圈，而是转一个角度，然后又转回来，因此最终转过的角度就是0。
所以就可以根据这个角度之和来判断随机点与区域的关系。

将以上函数封装成一个统一的函数：

def contain(poly, o):
    vs = poly - o
    ls = np.linalg.norm(vs, axis=1)
    cs = np.cross(vs[:-1], vs[1:])
    dot = (vs[:-1]*vs[1:]).sum(axis=1)
    ls = ls[:-1] * ls[1:]
    ang = np.arccos(dot/ls) * np.sign(cs)
    return ang.sum() > np.pi

可视化

msk = np.array([contain(poly, i) for i in pts])

plt.plot(*poly.T)
plt.plot(*pts[msk].T, 'go')
plt.plot(*pts[~msk].T, 'ro')
plt.show()

结果为：

数字旗手

算法赏析——判断某点是否在某区域内