多相材料的相场模型

传统Ginzburg-Landau自由能泛函形式

$$F_{CH}=\int \gamma [\frac{ϵ}{2}|\mathrm{\nabla }\varphi {|}^2+\frac{1}{4ϵ}({\varphi }^2-1{)}^2]dx$$

其中$\gamma$是传统明锐界面模型中的表面张力，$ϵ$是界面宽度。

多相体系的混合能形式

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{rl}F& =\int \mathrm{\_}\mathrm{\Omega }W(\varphi ,\mathrm{\nabla }\varphi ,\psi ,\mathrm{\nabla }\psi )dx\\ & =\int \mathrm{\_}\mathrm{\Omega }[\gamma \mathrm{\_}1(\frac{\psi -1}{2}{)}^2(\frac{ϵ\mathrm{\_}1}{2}|\mathrm{\nabla }\varphi {|}^2+\frac{1}{4ϵ\mathrm{\_}1}({\varphi }^2-1{)}^2)+\gamma \mathrm{\_}2(\frac{ϵ\mathrm{\_}2}{2}|\mathrm{\nabla }\psi {|}^2+\frac{1}{4ϵ\mathrm{\_}2}({\psi }^2-1{)}^2]dx\end{array}\end{array}$$

其中$(\frac{\psi -1}{2}{)}^2$这一项是为了保证两个不同相(标记为$\varphi =1,\psi =-1$和$\varphi =-1,\psi =-1$)之间的相互作用不直接影响第三相(标记为$\psi =1$)。

多相运动体系的总能量

通过在系统中加入流体方程，得到整个流体动力学体系的总能量，其是动能和混合能的加权之和：

$$E=\int \mathrm{\_}\mathrm{\Omega }(\frac{1}{2}\rho |u{|}^2+\lambda W(\varphi ,\mathrm{\nabla }\varphi ,\psi ,\mathrm{\nabla }\psi ))dx$$

这里$\lambda$表示两种能量之间的竞争。

应力张量

通过虚功原理求得Ginzburg-Landau能中的应力张量:
弹性应力张量:

$${\sigma }^e=-\gamma \mathrm{\_}1ϵ\mathrm{\_}1(\frac{\psi -1}{2}{)}^2\mathrm{\nabla }\varphi \otimes \mathrm{\nabla }\varphi -\gamma \mathrm{\_}2ϵ\mathrm{\_}2\mathrm{\nabla }\psi \otimes \mathrm{\nabla }\psi$$

粘性应力张量:

$${\sigma }^v=\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }u+(\mathrm{\nabla }u{)}^T)$$

控制方程组

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{rl}\rho (u\mathrm{\_}t+u\mathrm{\nabla }u)+\mathrm{\nabla }p& =\lambda \mathrm{\nabla }({\sigma }^e+{\sigma }^v)\\ \varphi \mathrm{\_}t+u\mathrm{\nabla }\varphi & =-M\mathrm{\_}1\frac{\delta F}{\delta \varphi }\\ \psi \mathrm{\_}t+u\mathrm{\nabla }\psi & =-M\mathrm{\_}2\frac{\delta F}{\delta \psi }\\ \end{array}\end{array}$$

其中：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}\frac{\delta F}{\delta \varphi }& =-\gamma \mathrm{\_}1[ϵ\mathrm{\_}1\mathrm{\nabla }[({\frac{\varphi -1}{2}}^2\mathrm{\nabla }\varphi ]-\frac{1}{ϵ\mathrm{\_}1}(\frac{\psi -1}{2}{)}^2({\varphi }^2-1)\varphi ]\\ \frac{\delta F}{\delta \psi }& =-\gamma \mathrm{\_}2[ϵ\mathrm{\_}2\mathrm{\Delta }\psi -\frac{1}{ϵ\mathrm{\_}2}({\psi }^2-1)\psi ]+\gamma \mathrm{\_}1ϵ\mathrm{\_}1\frac{\psi -1}{2}[\frac{1}{2}|\mathrm{\nabla }\varphi {|}^2+\frac{1}{4ϵ\mathrm{\_}1}({\varphi }^2-1{)}^2]\\ \end{array}\end{array}$$

参考文献

J. Brannick, C. Liu, T. Qian, H. Sun. Diffuse Interface Methods for Multiple Phase Materials: An Energetic Variational Approach, Numerical Mathematics: Theory, Methods and Applications 8 (2015) 220-236.