多相材料的相场模型

传统Ginzburg-Landau自由能泛函形式

$$ F_{CH}=\int\gamma[\frac{\epsilon}{2}|\nabla\phi|^2+\frac{1}{4\epsilon}(\phi^2-1)^2]dx $$
其中$\gamma$是传统明锐界面模型中的表面张力,$\epsilon$是界面宽度。

多相体系的混合能形式

$$
\begin{equation}
\begin{split}
F&=\int_\Omega W(\phi,\nabla\phi,\psi,\nabla\psi)dx \\
&=\int_\Omega[\gamma_1(\frac{\psi-1}{2})^2(\frac{\epsilon_1}{2}|\nabla\phi|^2+\frac{1}{4\epsilon_1}(\phi^2-1)^2)+\gamma_2(\frac{\epsilon_2}{2}|\nabla\psi|^2+\frac{1}{4\epsilon_2}(\psi^2-1)^2]dx
\end{split}
\end{equation}
$$
其中$(\frac{\psi-1}{2})^2$这一项是为了保证两个不同相(标记为$\phi=1,\psi=-1$和$\phi=-1,\psi=-1$)之间的相互作用不直接影响第三相(标记为$\psi=1$)。

多相运动体系的总能量

通过在系统中加入流体方程,得到整个流体动力学体系的总能量,其是动能和混合能的加权之和:
$$ E=\int_\Omega(\frac{1}{2}\rho|u|^2+\lambda W(\phi,\nabla\phi,\psi,\nabla\psi))dx $$
这里$\lambda$表示两种能量之间的竞争。

应力张量

通过虚功原理求得Ginzburg-Landau能中的应力张量:
弹性应力张量:
$$ \sigma^e=-\gamma_1\epsilon_1(\frac{\psi-1}{2})^2\nabla\phi\otimes\nabla\phi
-\gamma_2\epsilon_2\nabla\psi\otimes\nabla\psi $$
粘性应力张量:
$$ \sigma^v=\frac{1}{2}(\nabla u+(\nabla u)^T) $$

控制方程组

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\rho(u_t+u\nabla u)+\nabla p&=\lambda\nabla(\sigma^e+\sigma^v) \\
\phi_t+u\nabla\phi&=-M_1\frac{\delta F}{\delta\phi} \\
\psi_t+u\nabla\psi&=-M_2\frac{\delta F}{\delta\psi} \\
\end{split}
\end{equation}
$$
其中:
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\delta F}{\delta\phi}&=-\gamma_1[\epsilon_1\nabla[(\frac{\phi-1}{2}^2\nabla\phi]
-\frac{1}{\epsilon_1}(\frac{\psi-1}{2})^2(\phi^2-1)\phi] \\
\frac{\delta F}{\delta\psi}&=-\gamma_2[\epsilon_2\Delta\psi-\frac{1}{\epsilon_2}(\psi^2-1)\psi]+\gamma_1\epsilon_1\frac{\psi-1}{2}[\frac{1}{2}|\nabla\phi|^2+\frac{1}{4\epsilon_1}(\phi^2-1)^2] \\
\end{split}
\end{equation}
$$

参考文献

J. Brannick, C. Liu, T. Qian, H. Sun. Diffuse Interface Methods for Multiple Phase Materials: An Energetic Variational Approach, Numerical Mathematics: Theory, Methods and Applications 8 (2015) 220-236.